Formules fondamentales :
Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques prises en des points remarquables :
Décomposition des arguments composés :
- sin (a
b) = sin a . cos b
cos a . sin b
- cos (a
b) = cos a . cos b
sin a . sin b
- tg (a b) = (tg a
tg b) / (1
tg a . tb b)
Angles associés :
Grands associés
f_trigo[grand_associé_de_alpha] |
Petits associés
f_trigo[petit_associé_de_alpha] |
- tg[
+ a] = - tg a
- sin[(3/ 2) - a] = - cos a
Développements selon les arguments doubles (cas de décomposition d'arguments composés quand a = b) :
- sin 2a = 2 sin a . cos a
- cos 2a = cos² a - sin² a
- tg 2a = 2 tg a / (1 - tg² a)
Développements selon les arguments triples :
Formules de Carnot (formulation pratique du développement selon les arguments doubles) :
- 1 + cos 2a = 2 cos² a
- 1 - cos 2a = 2 sin² a
Formules de Simpson pour le produit (diminution d'ordre 1 du degré polynomial) :
-
cos a . cos b = 
[ cos(a-b) + cos(a+b) ] -
sin a . sin b = [ cos(a-b) - cos(a+b) ] -
sin a . cos b = [ sin(a-b) + sin(a+b) ]
Formules de Simpson pour la somme (augmentation d'ordre 1 du degré polynomial) :
-
cos a + cos b = 2 cos 
. cos 
-
cos a - cos b = -2 sin . sin -
sin a + sin b = 2 sin . cos -
sin a - sin b = 2 cos . sin
Développements tangentiels :
 |
(cas particulier de la formule précédente quand a = b) |
Changement de variables dans le cadre du calcul d'intégrales de
fonctions trigonométriques rationnelles :
[avec
dx = 2 dt / (1 + t²) ; sin x = 2 t / (1 + t²) ; cos x = (1 - t²) / (1 + t²)]
Développements selon tg x/2 :
- sin x = (2 tg x/2) / (1 + tg² x/2)
- cos x = (1 - tg² x/2) / (1 + tg² x/2)
- tg x = (2 tg x/2) / (1 - tg² x/2)
Quelques intégrales trigonométriques particulièrement intéressantes
:
Note
: la fonction B(m,n) est la fonction Beta (2ème intégrale eulérienne).
On peut la calculer aisément : B(m,n) = G(m) G(n) / G(m+n). En effet, G(n) est
la fonction Gamma (1ère intégrale eulérienne). Elle vaut (n-1) G(n-1) par
relation de récurrence, avec G(0) fixé à 1. On notera que m,n doivent être
nécessairement entiers ou demi-entiers (dans ce cas, on a G(
)=
).
Tableau comparatif des fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques :
|
|
||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
||||||
| cos² x + sin² x = 1 | ch² x - sh² x = 1 | ||||||
| 1 + tg² x = 1 / cos² x | 1 - th² x = 1 / ch² x | ||||||
| 1 + cotg² x = 1 / sin² x | 1 - coth²x = -1 / sh² x | ||||||
| exp(ix) = cos x + i sin x | exp(x) = ch x + sh x | ||||||
| exp(-ix) = cos x - i sin x | exp(-x) = ch x - sh x |
Forme logarithmique des fonctions hyperboliques réciproques [utile dans le cadre du calcul intégral] :
- arcsh x = ln [x + (x²+1)]
- arcch x = ln [x + (x²-1)]
| arcth x = |
|
ln [(1+x) / (1-x)] |
| arccoth x = |
|
ln [(x+1) / (x-1)] |
Etude sommaire des fonctions usuelles :
| f (x) | f ' (x) | Dom x | Dom y | Zéro |
|---|---|---|---|---|
| sin x | cos x | [ 0 ; +2 ] + 2k |
[ -1 ; +1 ] | 0 + k |
| cos x | -sin x | [0 ; +2 ] + 2k |
[ -1 ; +1] |
/ 2 + k |
| tg x | 1 / cos² x | ] -/ 2 ; +/ 2 [ + k |
] - ; +[ |
0 + k |
| cotg x | -1 / sin² x | ] 0 ; + [ + k |
] - ; +[ |
/ 2 + k |
| arcsin x | 1 /
(1 - x²) |
[ -1 ; +1 ] | [ -/ 2 ; +/ 2 ] |
0 |
| arccos x | -1 /
(1 - x²) |
[ -1 ; +1 ] | [ + ; 0 ] |
1 |
| arctg x | 1 / (1 + x²) | ] - ; + [ |
] -/ 2 ; +/ 2 [ |
0 |
| arccotg x | -1 / (1 + x²) | ] - ; + [ |
] +/ 2 ; -/ 2 [ |
/ 2 |
| sh x | ch x | ] - ; +[ |
] - ; +[ |
0 |
| ch x | sh x | ] - ; +[ |
[ +1 ; +[ |
 |
| th x | 1 / ch² x | ] - ; +[ |
] -1 ; +1 [ | 0 |
| coth x | 1 / sh² x | ] - ; -1 [ U ] +1 ;
+[ |
] - ; -1 [ U ] +1 ;
+[ |
|
| arcsh x | 1 /
(x² + 1) |
] - ; +[ |
] - ; +[ |
0 |
| arcch x | 1 /
(x² - 1) |
[ +1 ; +[ |
[ 0 ; +[ |
1 |
| arcth x | 1 / (1 - x²) [*1*] | ] -1 ; +1 [ | ] - ; +[ |
0 |
| arccoth x | 1 / (1 - x²) [*2*] | ] - ; -1 [ U ] +1 ;
+[ |
] - ; 0 [ U ] 0 ;
+[ |
|
Remarques
donnée (n naturel) à un scalaire, le résultat reste scalaire. Lorsque cette
même quantité est ajoutée à un domaine de R², on considère qu'elle est en fait
ajoutée à chacune des composantes, celles-ci restant individuellement
scalaires de R, après addition.
; -1 [ U ] +1 ; + [, complémentaire de l'ouvert ] -1 ; +1 [ sur
R\{(-1,+1)}
Calcul des fonctions trigonométriques des demi-angles d'un triangle en fonction des cotés :
- Sinus de l'angle-demi
- Cosinus de l'angle-demi
- Pour obtenir la tangente de l'angle-demi, il suffit d'effectuer le quotien des 2 résultats précédents.
Remarques
Calcul des hauteurs d'un triangle
Remarques
Calcul des bissectrices d'un triangle
- Bissectrice interieure
- Bissectrice extérieure
Remarques
Calcul des médianes d'un triangle
Remarques
Calcul du rayon du cercle inscrit d'un triangle
Remarque
Aire d'un triangle (diverses méthodes de calcul) :
- méthode basée sur la hauteur
- méthode basée sur un angle et ses côtés adjacents
- méthode basée sur le demi-perimètre et le rayon du cercle inscrit
- méthode basée sur le demi-perimètre, un angle et son côté associé
- méthode basée sur les côtés
- méthode basée sur le demi-perimètre et les côtés
Remarques
Dessiner des segments de droites de longueur irrationnelle algébrique
à la règle et au compas :
Calcul (généralement on prend a et b appartenant à Q,
l'ensemble des rationnels)
Exemple
(a
. b) = racine de (a . b)
(3 . 4) = racine de
12
Un plus un = deux :
Très tôt, l'étudiant en Sciences Appliquées se rend compte qu'il n'est jamais de bon goût d'écrire l'égalité triviale 1 + 1 = 2 sous une forme aussi naïve (n'est-ce pas ?). Dès lors, grâce à une utilisation astucieuse des relations hyperboliques, de développements en série et de techniques avancées d'intégration réelle, nous pouvons nous émerveiller de l'embellissement suivant, que le lecteur averti appréciera pour sa clarté exemplaire. On exhibe ainsi qu'il est évident que le texte présenté est de loin plus clair et plus lisible sous sa nouvelle forme.
Merci à Cyril Briquet